Юрий Ряшенцев родился в Ленинграде в 1931 году, но с трёх лет живёт в Москве. Его отец, Евгений Якобсон, был репрессирован и расстрелян в 1938 году. Мать, Ксения Кимберг, перед войной вышла замуж за Евгения Ряшенцева, и будущий поэт получил фамилию и отчество отчима, который также был арестован в 1949 году. Войну Юрий провёл в эвакуации в Оренбургской области. Он окончил Московский педагогический университет (с отличием, 1954), где учился вместе с Петром Фоменко, Юрием Визбором и Юлием Кимом. Семь лет преподавал в школе, из них три — в школе для трудных подростков.
Публиковаться начал в 1955 году, в первых номерах журнала «Юность». В 1962 году был приглашён в отдел поэзии этого журнала и до 1990-х годов работал с молодыми поэтами. Его учениками считают себя Инна Кабыш, Алексей Дидуров, Вера Павлова, Виктория Иноземцева, а также Владимир Вишневский и Виктор Шендерович. Первый сборник стихов «Очаг» вышел в 1967 году. Член Союза писателей с 1970 года, член русского ПЕН-центра с 1989-го.
Широкой публике Ряшенцев известен прежде всего как поэт-песенник. Его тексты звучат в фильмах «Д’Артаньян и три мушкетёра», «Гардемарины, вперёд!», «Будьте моим мужем», «Забытая мелодия для флейты», «Старые клячи» и многих других. «Ланфрен-ланфра», «Бастилия», «Арго», «Пора-пора-порадуемся» — эти песни знают и поют до сих пор. Сам поэт не сразу полюбил фильм о мушкетёрах — ему казалось, что в нём нет той «тонкости и лёгкости», которые должны сопутствовать экранизации Дюма. Но годы всё расставили по местам.
Ряшенцев — трёхкратный победитель Всесоюзных конкурсов по стихотворному переводу. Он переводил украинских, армянских, грузинских, бурятских поэтов, писал русские тексты для мюзиклов и опер. В соавторстве с женой Галиной Полиди он создал русскую версию мюзикла «Метро», либретто оперы «Царица» Давида Тухманова, мюзикла «Раба любви», а также написал стихи для «Шербургских зонтиков» (Национальная премия «Музыкальное сердце театра», 2009). В 2016 году состоялась премьера рок-оперы «Преступление и наказание» — либретто и стихи написал Ряшенцев, музыку — Эдуард Артемьев, постановка — Андрея Кончаловского.
В 2003 году Ряшенцев стал лауреатом Государственной премии имени Булата Окуджавы. В 2021 году отпраздновал 90-летие. Весной 2024 года, в возрасте 92 лет, он впервые запел сам — записал дуэтом песню «Потом» на собственные стихи. Юрий Ряшенцев остаётся в русской поэзии и драматургии фигурой необычайного диапазона: от лирических стихов до перевода классики, от песен для детей до философских мюзиклов. Он пережил войну, репрессии, смену эпох — и сохранил лёгкость, иронию и вкус к жизни. Как в его собственной песне: «Пора-пора-порадуемся на своём веку». И он — радуется. И мы — с ним.